Что такое прямоугольник? Частные случаи прямоугольника. Что такое прямоугольник Под каким углом пересекаются диагонали прямоугольника

Прямоугольник - параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Диагонали прямоугольника равны. Вторая формула нахождения площади прямоугольника исходит из формулы площади четырехугольника через диагонали.

Прямоугольник - это четырехугольник, у которого каждый угол является прямым.

Квадрат - это частный случай прямоугольника.

Прямоугольник имеет две пары равных сторон. Длина наиболее длинных пар сторон называется длиной прямоугольника , а длина наиболее коротких - шириной прямоугольника .

Свойства прямоугольника

1. Прямоугольник - это параллелограмм

Свойство объясняется действием признака 3 параллелограмма (то есть \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \) )

2. Противоположные стороны равны

\(AB = CD,\enspace BC = AD \)

3. Противоположные стороны параллельны

\(AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD \)

4. Прилегающие стороны перпендикулярны друг другу

\(AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB \)

5. Диагонали прямоугольника равны

\(AC = BD \)

Согласно свойству 1 прямоугольник является параллелограммом, а значит \(AB = CD \) .

Следовательно, \(\triangle ABD = \triangle DCA \) по двум катетам (\(AB = CD \) и \(AD \) - совместный).

Если обе фигуры - \(ABC \) и \(DCA \) тождественны, то и их гипотенузы \(BD \) и \(AC \) тоже тождественны.

Значит, \(AC = BD \) .

Только у прямоугольника из всех фигур (только из параллелограммов!) равны диагонали.

Докажем и это.

\(\Rightarrow AB = CD \) , \(AC = BD \) по условию. \(\Rightarrow \triangle ABD = \triangle DCA \) уже по трем сторонам.

Получается, что \(\angle A = \angle D \) (как углы параллелограмма). И \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \) .

Выводим, что \(\angle A = \angle B = \angle C = \angle D \) . Все они по \(90^{\circ} \) . В сумме - \(360^{\circ} \) .

7. Диагональ делит прямоугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника

\(\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD \)

8. Точка пересечения диагоналей делит их пополам

\(AO = BO = CO = DO \)

9. Точка пересечения диагоналей является центром прямоугольника и описанной окружности

Прямоугольник … Орфографический словарь-справочник

Параллелограмм, четырехугольник, квадрат Словарь русских синонимов. прямоугольник сущ., кол во синонимов: 4 квадрат (9) … Словарь синонимов

Термин, используемый в техническом анализе конъюнктуры финансовых рынков для обозначения движения цен, укладывающегося на графике в прямоугольник. Райзберг Б.А., Лозовский Л.Ш., Стародубцева Е.Б.. Современный экономический словарь. 2 е изд., испр … Экономический словарь

Словарь бизнес-терминов

ПРЯМОУГОЛЬНИК, параллелограмм, все углы которого прямые … Современная энциклопедия

Четырехугольник, у которого все углы прямые … Большой Энциклопедический словарь

ПРЯМОУГОЛЬНИК, четырехсторонняя геометрическая фигура (четырехугольник), внутренние углы которой являются прямыми, а противоположные стороны попарно параллельны и равны. Это особый случай ПАРАЛЛЕЛОГРАММА … Научно-технический энциклопедический словарь

ПРЯМОУГОЛЬНИК, прямоугольника, муж. (геом.). Четырехугольник, в котором все углы прямые. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

ПРЯМОУГОЛЬНИК, а, муж. 1. Четырёхугольник, у к рого все углы прямые. 2. Название офицерского знака различия такой формы на петлицах в Красной Армии (с 1924 по 1943 г.). Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

Вид графика движения цены в виде треугольника, используемый в техническом анализе конъюнктуры финансовых рынков. Словарь бизнес терминов. Академик.ру. 2001 … Словарь бизнес-терминов

Книги

Прямоугольник (+ наклейки) , Валерия Вилюнова. Эта книга с наклейками предназначена для самых маленьких читателей. В 2 года ребенок с удовольствием выполняет увлекательные задания, приклеивая наклейки в нужноеместо. Это занятие не только…
Геометрическая мозаика. Прямоугольник , Вилюнова В.. Книга «Прямоугольник» предназначена для самых маленьких читателей. С ее помощью ваш малыш познакомится с геометрическими фигурами – прямоугольником и трапецией, научится различать и называть…

Прямоугольник образуется замкнутой ломаной линией , состоящей из четырёх звеньев, и той частью плоскости, которая находится внутри ломаной.

В тексте прямоугольники обозначаются четырьмя прописными латинскими буквами, стоящими при вершинах - ABCD .

У прямоугольников противоположные стороны параллельны и равны:

ABCD точки A , B , C и D - это вершины прямоугольника , отрезки AB , BC , CD и DA - стороны . Углы, образованные сторонами, называются внутренними углами или просто углами прямоугольника .

Главное отличие прямоугольников от остальных четырёхугольников - четыре прямых внутренних угла:

Свойства диагоналей

Отрезки , соединяющие противолежащие вершины прямоугольника, называются диагоналями.

Отрезки AC и BD - диагонали, O - точка пересечения диагоналей.

В любом прямоугольнике можно провести всего две диагонали. Они обладают следующими свойствами:

диагонали прямоугольника равны
AC = BD
точка пересечения делит каждую диагональ на два равных отрезка
AO = OC и BO = OD
так как диагонали равны, то и отрезки, на которые они разделяются в точке пересечения, тоже равны между собой:
AO = OC = BO = OD
каждая диагональ делит прямоугольник на два равных треугольника:
ΔABC = ΔCDA и ΔDAB = ΔBCD

Квадрат - прямоугольник, у которого все стороны равны. Диагонали квадрата обладают всеми свойствами диагоналей прямоугольника. Также диагонали квадрата имееют и дополнительных свойства:

диагонали квадрата пересекаются под прямым углом, то есть они взаимно перпендикулярны:
AC ⊥ BD
диагонали квадрата делят его на четыре равных треугольника:
ΔABO = ΔBCO = ΔCDO = ΔDAO
диагонали квадрата делят внутренние углы на две равные части, то есть они являются биссектрисами

Прямоугольник – это в первую очередь геометрическая плоская фигура. Она состоит из четырех точек, которые соединены между собой двумя парами равных отрезков, перпендикулярно пересекающихся только в этих точках.

Прямоугольник определяют через параллелограмм. По-другому, прямоугольник – это параллелограмм, углы которого все прямые, то есть равные 90 градусам. В геометрии Евклида, если у геометрической фигуры 3 из 4 углов равны 90 градусам, то четвёртый угол автоматически равен 90 градусам и такую фигуру можно назвать прямоугольником. Из определения параллелограмма ясно, что прямоугольник – множество разновидностей этой фигуры на плоскости. Из этого следует, что свойства параллелограмма применимы и к прямоугольнику. Например: в прямоугольнике противолежащие стороны равные по своей длине. При построении диагонали в прямоугольнике она разобьет фигуру на два одинаковых треугольника. На этой и основана теорема Пифагора, в которой говорится о том, что квадрат гипотенузы в прямоугольном треугольнике равен сумме квадратов его катетов. Если все стороны правильного прямоугольника равны, то такой прямоугольник называют квадратом. Квадрат также определяется как ромб, у которого все его стороны равны между собой, а все углы прямые.

Площадь прямоугольника находится по формуле: S=a*b, где a – длина данного прямоугольника, b – ширина. Например: площадь прямоугольника со сторонами 4 и 6 см будет равна 4*6=24 сантиметра в квадрате.

Периметр пр ямоугольника рассчитывается по формуле: P= (a+b)*2, где a – длина прямоугольников, b – ширина данного прямоугольника . Например: периметр пр ямоугольника со сторонами 4 и 8 см равен 24 см. Диагонали вписанного в окружность прямоугольника совпадают с диаметром этой окружности. Точка пересечения этих диагоналей будет являться центром окружности.

При доказательствах на причастность геометрической фигуры к прямоугольнику фигуру проверяют на какое-либо из условий: 1 – квадрат диагонали фигуры равен сумме квадратов двух сторон с одной общей точкой; 2 – диагонали фигуры имеют равную длину; 3 – все углы равны 90 градусам. При соблюдении хотя бы одного условия можно назвать фигуру прямоугольником.

Урок по теме « Прямоугольник и его свойства»

Цели урока:

Повторить понятие прямоугольника, опираясь на полученные знания учащихся в курсе математики 1 – 6 классов.

Рассмотреть свойства прямоугольника как частного вида параллелограмма.

Рассмотреть частное свойство прямоугольника.

Показать применение свойств к решению задач.

Ход урока .

I O рганизационный момент.

Сообщить цель урока, тему урока.

II Изучение нового материала .

Повторить:

1. Какая фигура называется параллелограммом?

2. Какими свойствами обладает параллелограмм?

● Ввести понятие прямоугольника.

Какой параллелограмм можно назвать прямоугольником?

Определение: Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. (слайд 3)

Значит, раз прямоугольник – это параллелограмм, то он обладает всеми свойствами параллелограмма. Раз у прямоугольника другое название, то должно быть своё свойство (слайд 4).

● Задание для учащихся (самостоятельно): исследуйте стороны, углы и диагонали параллелограмма и прямоугольника, записав результаты в таблицу.

Параллелограмм

Прямоугольник

Стороны

Углы

Диагонали

Сделать вывод: диагонали прямоугольника равны.

● Этот вывод и является частным свойством прямоугольника:

Теорема. Диагонали прямоугольника равны.

Дано : АВСD – прямоугольник,

АС и BD диагонали.

Доказать : АС = BD

Доказательство:

1) Рассмотрим ∆ АСD и ∆ АВD :

а)
АD С =
D АВ = 90°,

б) А D – общая,

в) АВ = СD – противоположные стороны прямоугольника,

следовательно треугольники равны по двум катетам.

2)Так как треугольники равны, то АС = ВD .

●Рассмотрим свойства прямоугольника, зная, что он является параллелограммом.

Свойство 1: сумма углов прямоугольника равна 360°.

Доказательство : а) так как у прямоугольника четыре угла по 90°, то их сумма равна 360°.

б) так как прямоугольник – это четырехугольник, то сумма углов четырехугольника равна (n – 2) ∙180° = (4 – 2) ∙180° = 2∙180° = 360°.

Свойство 2: противоположные стороны прямоугольника равны.

Доказательство : а) так как прямоугольник – это параллелограмм, а у параллелограмма противоположные стороны равны, то и у прямоугольника противоположные стороны тоже будут равными.

Как еще можно доказать этот факт?

б) если провести диагональ АС, то из равенства прямоугольных треугольников АВС и С D А (по гипотенузе и острому углу) будет следовать равенство противоположных сторон прямоугольника.

Свойство 3: диагонали прямоугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство : а) так как прямоугольник – это параллелограмм, а у параллелограмма диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то и у прямоугольника диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Существует ли ещё одно доказательство этого свойства?

б) Да, через равенство треугольников АОВ и D ОС (по стороне и двум прилежащим к ней углам)

Свойство 4: биссектриса угла прямоугольника отсекает от него равнобедренный треугольник.

Доказательство: а) так как прямоугольник – это параллелограмм, а у параллелограмма биссектриса острого угла отсекает от него равнобедренный треугольник, то и у прямоугольника биссектриса любого угла отсекает от него равнобедренный треугольник.

Можно ли ещё каким либо другим способом доказать это свойство?

б) Можно. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВК и докажем равенство углов ВАК и ВКА. Тогда можно сделать вывод о равенстве сторон АВ и ВК.

Все свойства доказываются, используя свойства параллелограмма.

Получили, что прямоугольник обладает пятью свойствами:

III Закрепление изученного материала.

Задания классу: 1. Найди периметр прямоугольника (устно)

а)б)

Решение:

а) Р = (6+4)∙2, Р= 20(дм) (противоположные стороны прямоугольника равны)

б) т.к. диагонали прямоугольника равны, то ∆ M ОK и ∆ M ОN равнобедренные, ОВ и ОА являются медианами, следовательно они являются и высотами. Тогда 2ВО = MN = 8, 2АО = МK = 4.

Р = (8 + 4)∙2, Р = 24(дм)