Уравнение прямой с угловым коэффициентом: теория, примеры, решение задач. Угловой коэффициент прямой Угловой коэффициент прямой линии

В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет прямую.

Уравнение вида

называется общим уравнением прямой.

Угол , определяемый, как показано на рис., называется углом наклона прямой к оси Ох. Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой; его обычно обозначают буквой k:

Уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k - угловой коэффициент, b - величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат.

Если прямая задана общим уравнением

,

то ее угловой коэффициент определяется по формуле

Уравнение является уравнением прямой, которая проходит через точку (, ) и имеет угловой коэффициент k.

Если прямая проходит через точки (, ), (, ), то ее угловой коэффициент определяется по формуле

Уравнение

является уравнением прямой, проходящей через две точки (, ) и (, ).

Если известны угловые коэффициенты и двух прямых, то один из углов между этими прямыми определяется по формуле

.

Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов:.

Признаком перпендикулярности двух прямых является соотношение , или .

Иначе говоря, угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.

4.Общее уравнение прямой

Уравнение

Ах+Ву+С=0

(где А, В, С могут иметь любые значения, лишь бы коэффициентыА, В не были нулями оба сразу) представляетпрямую линию . Всякую прямую можно представить уравнением этого вида. Поэтому его называютобщим уравнением прямой .

Если А х , то оно представляет прямую,параллельную оси ОХ .

Если В =0, то есть уравнение не содержиту , то оно представляет прямую,параллельную оси ОY .

Когла В не равно нулю, то общее уравнение прямой можноразрешить относительно ординаты у , тогда оно преобразуется к виду

(где a=-A/B ; b=-C/B ).

Аналогично, при А отличным от нуля общее уравнение прямой можно разрешить относительнох .

Если С =0, то есть общее уравнение прямой не содержит свободного члена, то оно представляет прямую, проходящую через начало координат

5. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом

Уравнение прямой, проходящей через данную точку A (x 1 , y 1) в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом k ,

y - y 1 = k (x - x 1). (1)

Это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку A (x 1 , y 1), которая называется центром пучка.

6. уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

. Уравнение прямой, проходящей через две точки: A (x 1 , y 1) и B (x 2 , y 2), записывается так:

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, определяется по формуле

7. Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнении прямой , то разделив (1) на , получаем уравнение прямой в отрезках

где , . Прямая пересекает ось в точке , ось в точке .

8. Формула: Угол между прямыми на плоскости

Уголα между двумя прямыми, заданными уравнениями: y=k 1 x+b 1 (первая прямая) и y=k 2 x+b 2 (вторая прямая), может быть вычислен по формуле (угол отсчитывается от 1 й прямой ко 2 й против часовой стрелки ):

9. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

Пусть сейчас оба уравнения прямых записаны в общем виде.

Теорема. Пусть

– общие уравнения двух прямых на координатной плоскости Оху. Тогда

1) если , то прямые и совпадают;

2) если , то прямые и

параллельные;

3) если , то прямые пересекаются.

Доказательство. Условие равносильно коллинеарности нормальных векторов данных прямых:

Поэтому, если , то и прямые пересекаются.

Если же , то , , иуравнение прямой принимает вид:

Или , т.е. прямые совпадают. Заметим, что коэффициент пропорциональности , иначе все коэффициенты общего уравнения были бы равны нулю, что невозможно.

Если же прямые не совпадают и не пересекаются, то остается случай , т.е. прямые параллельны.

Теорема доказана.

Пусть на плоскости, где имеется прямоугольная декартова система координат, прямая l проходит через точку М 0 параллельно направляющему вектору а (рис. 96).

Если прямая l пересекает ось Ох (в точке N), то под углом прямой l с осью Ох будем понимать угол α, на который необходимо повернуть ось Ох вокруг точки N в направлении, обратном вращению часовой стрелки, чтобы ось Ох совпала с прямой l . (Имеется в виду угол, меньший 180°.)

Этот угол называют углом наклона прямой. Если прямая l параллельна оси Ох , то угол наклона принимается равным нулю (рис. 97).

Тангенс угла наклона прямой называется угловым коэффициентом прямой и обычно обозначается буквой k :

tg α = k . (1)

Если α = 0, то и k = 0; это означает, что прямая параллельна оси Ох и ее угловой коэффициент равен нулю.

Если α = 90°, то k = tg α не имеет смысла: это означает, что прямая, перпендикулярная оси Ох (т. е. параллельная оси Оу ), не имеет углового коэффициента.

Угловой коэффициент прямой можно вычислить, если известны координаты двух каких-либо точек этой прямой. Пусть даны две точки прямой: M 1 (x 1 ; у 1) и M 2 (x 2 ; у 2) и пусть, например, 0 < α < 90°, а x 2 > x 1 , у 2 > у 1 (рис. 98).

Тогда из прямоугольного треугольника M 1 РM 2 находим

$$ k=tga = \frac{|M_2 P|}{|M_1 P|} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $$

$$ k=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \;\; (2)$$

Аналогично доказывается, что формула (2) верна и в случае 90° < α < 180°.

Формула (2) теряет смысл, если x 2 - x 1 = 0, т. е. если прямая l параллельна оси Оу . Для таких прямых угловой коэффициент не существует.

Задача 1. Определить угловой коэффициент примой, проходящей через точки

M 1 (3; -5) и М 2 (5; -7).

Подставляя координаты точек M 1 и М 2 в формулу (2), получим

\(k=\frac{-7-(-5)}{5-3} \) или k = -1

Задача 2. Определить угловой коэффициент прямой, проходящей через точки M 1 (3; 5) и M 2 (3; -2).

Так как x 2 - x 1 = 0, то равенство (2) теряет смысл. Для этой прямой угловой коэффициент не существует. Прямая M 1 M 2 параллельна оси Оу .

Задача 3. Определить угловой коэффициент прямой, проходящей через начало координат и точку M 1 (3; -5)

В этом случае точка M 2 совпадает с началом координат. Применяя формулу (2), получим

$$ k=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}=\frac{0-(-5)}{0-3}= -\frac{5}{3}; \;\; k= -\frac{5}{3} $$

Составим уравнение прямой с угловым коэффициентом k , проходящей через точку

M 1 (x 1 ; у 1). По формуле (2) угловой коэффициент прямой находится по координатам двух ее точек. В нашем случае точка M 1 задана, а в качестве второй точки можно взять любую точку М(х; у ) искомой прямой.

Если точка М лежит на прямой, которая проходит через точку M 1 и имеет угловой коэффициент k , то в силу формулы (2) имеем

$$ \frac{y-y_1}{x-x_1}=k \;\; (3) $$

Если же точка М не лежит на прямой, то равенство (3) не выполняется. Следовательно, равенствo (3) и есть уравнение прямой, проходящей через точку M 1 (x 1 ; у 1) с угловым коэффициентом k ; это уравнение обычно записывают в виде

y - y 1 = k (x - x 1). (4)

Если прямая пересекает ось Оу в некоторой точке (0; b ), то уравнение (4) принимает вид

у - b = k (х - 0),

y = kx + b . (5)

Это уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k и начальной ординатой b.

Задача 4. Найти угол наклона прямой √3 х + 3у - 7 = 0.

Приведем данное уравнение к виду

$$ y= =\frac{1}{\sqrt3}x + \frac{7}{3} $$

Следовательно, k = tg α = - 1 / √ 3 , откуда α = 150°

Задача 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку Р(3; -4), с угловым коэффициентом k = 2 / 5

Подставив k = 2 / 5 , x 1 = 3, y 1 = - 4 в уравнение (4), получим

у - (- 4) = 2 / 5 (х - 3) или 2х - 5у - 26 = 0.

Задача 6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку Q (-3; 4) и составляющей с положительным направлением оси Ох угол 30°.

Если α = 30°, то k = tg 30° = √ 3 / 3 . Подставив в уравнение (4) значения x 1 , y 1 и k , получим

у -4 = √ 3 / 3 (x + 3) или √3 x -3y + 12 + 3√3 = 0.

В математике одним из параметров, описывающих положение прямой на декартовой плоскости координат, является угловой коэффициент этой прямой. Этот параметр характеризует наклон прямой к оси абцисс. Чтобы понять, как найти угловой коэффициент, сначала вспомним общий вид уравнения прямой в системе координат XY.

В общем виде любую прямую можно представить выражением ax+by=c, где a, b и c - произвольные действительные числа, но обязательно a 2 + b 2 ≠ 0.

Подобное уравнение с помощью несложных преобразований можно довести до вида y=kx+d, в котором k и d - действительные числа. Число k является угловым коэффициентом, а само уравнение прямой подобного вида называется уравнением с угловым коэффициентом. Получается, что для нахождения углового коэффициента, необходимо просто привести исходное уравнение к указанному выше виду. Для более полного понимания рассмотрим конкретный пример:

Задача: Найти угловой коэффициент линии, заданной уравнением 36x - 18y = 108

Решение: Преобразуем исходное уравнение.

Ответ: Искомый угловой коэффициент данной прямой равен 2.

В случае, если в ходе преобразований уравнения мы получили выражение типа x = const и не можем в результате представить y в виде функции x, то мы имеем дело с прямой, параллельной оси Х. Угловой коэффициент подобной прямой равен бесконечности.

Для прямых, которых выражены уравнением типа y = const, угловой коэффициент равняется нулю. Это характерно для прямых, параллельных оси абцисс. Например:

Задача: Найти угловой коэффициент линии, заданной уравнением 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Решение: Приведем исходное уравнение к общему виду

24x + 12y - 12y + 28 = 4

Из полученного выражения выразить y невозможно, следовательно угловой коэффициент данной прямой равен бесконечности, а сама прямая будет параллельна оси Y.

Геометрический смысл

Для лучшего понимания обратимся к картинке:

На рисунке мы видим график функции типа y = kx. Для упрощения примем коэффициент с = 0. В треугольнике ОАВ отношение стороны ВА к АО будет равно угловому коэффициенту k. Вместе с тем отношение ВА/АО - это тангенс острого угла α в прямоугольном треугольнике ОАВ. Получается, что угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла, который составляет эта прямая с осью абцисс координатной сетки.

Решая задачу, как найти угловой коэффициент прямой, мы находим тангенс угла между ней и осью Х сетки координат. Граничные случаи, когда рассматриваемая прямая параллельна осям координат, подтверждают вышенаписанное. Действительно для прямой, описанной уравнением y=const, угол между ней и осью абцисс равен нулю. Тангенс нулевого угла также равен нулю и угловой коэффициент тоже равен нулю.

Для прямых, перпендикулярных оси абцисс и описываемых уравнением х=const, угол между ними и осью Х равен 90 градусов. Тангенс прямого угла равен бесконечности, так же и угловой коэффициент подобных прямых равен бесконечности, что подтверждает написанное выше.

Угловой коэффициент касательной

Распространенной, часто встречающейся на практике, задачей является также нахождение углового коэффициента касательной к графику функции в некоторой точке. Касательная - это прямая, следовательно к ней также применимо понятие углового коэффициента.

Чтобы разобраться, как найти угловой коэффициент касательной, нам будет необходимо вспомнить понятие производной. Производная от любой функции в некоторой точке - это константа, численно равная тангенсу угла, который образуется между касательной в указанной точке к графику этой функции и осью абцисс. Получается, что для определения углового коэффициента касательной в точке x 0 , нам необходимо рассчитать значение производной исходной функции в этой точке k = f"(x 0). Рассмотрим на примере:

Задача: Найти угловой коэффициент линии, касательной к функции y = 12x 2 + 2xe x при х = 0,1.

Решение: Найдем производную от исходной функции в общем виде

y"(0,1) = 24 . 0,1 + 2 . 0,1 . e 0,1 + 2 . e 0,1

Ответ: Искомый угловой коэффициент в точке х = 0,1 равен 4,831

В предыдущей главе было показано, что, выбрав определенную систему координат на плоскости, мы можем геометрическое свойства, характеризующее точки рассматриваемой линии, выразить аналитически уравнением между текущими координатами. Таким образом, мы получим уравнение линии. В этой главе будут рассматриваться уравнения прямых линий.

Чтобы составить уравнение прямой в декартовых координатах, нужно каким-то образом задать условия, определяющие положение ее относительно координатных осей.

Предварительно мы введем понятие об угловом коэффициенте прямой, который является одной из величин, характеризующих положение прямой на плоскости.

Назовем углом наклона прямой к оси Ох тот угол, на который нужно повернуть ось Ох, чтобы она совпала с данной прямой (или оказалась параллельной ей). Как обычно, угол будем рассматривать с учетом знака (знак определяется направлением поворота: против или по часовой стрелке). Так как добавочный поворот оси Ох на угол в 180° снова совместит ее с прямой, то угол наклона прямой к оси может быть выбран не однозначно (с точностью до слагаемого, кратного ).

Тангенс этого угла определяется однозначно (так как изменение угла на не меняет его тангенса).

Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой.

Угловой коэффициент характеризует направление прямой (мы здесь не различаем двух взаимно противоположных направлений прямой). Если угловой коэффициент прямой равен нулю, то прямая параллельна оси абсцисс. При положительном угловом коэффициенте угол наклона прямой к оси Ох будет острым (мы рассматриваем здесь наименьшее положительное значение угла наклона) (рис. 39); при этом чем больше угловой коэффициент, тем больше угол ее наклона к оси Ох. Если угловой коэффициент отрицателен, то угол наклона прямой к оси Ох будет тупым (рис. 40). Заметим, что прямая, перпендикулярная к оси Ох, не имеет углового коэффициента (тангенс угла не существует).

Продолжение темы уравнение прямой на плоскости основывается на изучении прямой линии из уроков алгебры. Данная статья дает обобщенную информацию по теме уравнения прямой с угловым коэффициентом. Рассмотрим определения, получим само уравнение, выявим связь с другими видами уравнений. Все будет рассмотрено на примерах решений задач.

Перед записью такого уравнения необходимо дать определение угла наклона прямой к оси О х с их угловым коэффициентом. Допустим, что задана декартова система координат О х на плоскости.

Определение 1

Угол наклона прямой к оси О х, расположенный в декартовой системе координат О х у на плоскости, это угол, который отсчитывается от положительного направления О х к прямой против часовой стрелки.

Когда прямая параллельна О х или происходит совпадение в ней, угол наклона равен 0 . Тогда угол наклона заданной прямой α определен на промежутке [ 0 , π) .

Определение 2

Угловой коэффициент прямой – это тангенс угла наклона заданной прямой.

Стандартное обозначение буквой k . Из определения получим, что k = t g α . Когда прямая параллельна Ох, говорят, что угловой коэффициент не существует, так как он обращается в бесконечность.

Угловой коэффициент положительный, когда график функции возрастает и наоборот. На рисунке показаны различные вариации расположения прямого угла относительно системы координат со значением коэффициента.

Для нахождения данного угла необходимо применить определение об угловом коэффициенте и произвести вычисление тангенса угла наклона в плоскости.

Решение

Из условия имеем, что α = 120 ° . По определению необходимо вычислить угловой коэффициент. Найдем его из формулы k = t g α = 120 = - 3 .

Ответ: k = - 3 .

Если известен угловой коэффициент, а необходимо найти угол наклона к оси абсцисс, тогда следует учитывать значение углового коэффициента. Если k > 0 , тогда угол прямой острый и находится по формуле α = a r c t g k . Если k < 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

Пример 2

Определить угол наклона заданной прямой к О х при угловом коэффициенте равном 3 .

Решение

Из условия имеем, что угловой коэффициент положительный, а это значит, что угол наклона к О х меньше 90 градусов. Вычисления производятся по формуле α = a r c t g k = a r c t g 3 .

Ответ: α = a r c t g 3 .

Пример 3

Найти угол наклона прямой к оси О х, если угловой коэффициент = - 1 3 .

Решение

Если принять за обозначение углового коэффициента букву k , тогда α является углом наклона к заданной прямой по положительному направлению О х. Отсюда k = - 1 3 < 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6 .

Ответ: 5 π 6 .

Уравнение вида y = k · x + b , где k является угловым коэффициентом, а b некоторым действительным числом, называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. Уравнение характерно для любой прямой, непараллельной оси О у.

Если подробно рассмотреть прямую на плоскости в фиксированной системе координат, которая задана уравнением с угловым коэффициентом, который имеет вид y = k · x + b . В данном случае значит, что уравнению соответствуют координаты любой точки прямой. Если подставить координаты точки М, M 1 (x 1 , y 1) , в уравнение y = k · x + b , тогда в этом случае прямая будет проходить через эту точку, иначе точка не принадлежит прямой.

Пример 4

Задана прямая с угловым коэффициентом y = 1 3 x - 1 . Вычислить, принадлежат ли точки M 1 (3 , 0) и M 2 (2 , - 2) заданной прямой.

Решение

Необходимо подставить координаты точки M 1 (3 , 0) в заданное уравнение, тогда получим 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0 . Равенство верно, значит точка принадлежит прямой.

Если подставим координаты точки M 2 (2 , - 2) , тогда получим неверное равенство вида - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3 . Можно сделать вывод, что точка М 2 не принадлежит прямой.

Ответ: М 1 принадлежит прямой, а М 2 нет.

Известно, что прямая определена уравнением y = k · x + b , проходящим через M 1 (0 , b) , при подстановке получили равенство вида b = k · 0 + b ⇔ b = b . Отсюда можно сделать вывод, что уравнение прямой с угловым коэффициентом y = k · x + b на плоскости определяет прямую, которая проходит через точку 0 , b . Она образует угол α с положительным направлением оси О х, где k = t g α .

Рассмотрим на примере прямую, определенную при помощи углового коэффициента, заданного по виду y = 3 · x - 1 . Получим, что прямая пройдет через точку с координатой 0 , - 1 с наклоном в α = a r c t g 3 = π 3 радиан по положительному направлению оси О х. Отсюда видно, что коэффициент равен 3 .

Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку

Необходимо решить задачу, где необходимо получить уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящим через точку M 1 (x 1 , y 1) .

Равенство y 1 = k · x + b можно считать справедливым, так как прямая проходит через точку M 1 (x 1 , y 1) . Чтобы убрать число b, необходимо из левой и правой частей вычесть уравнение с угловым коэффициентом. Из этого следует, что y - y 1 = k · (x - x 1) . Данное равенство называют уравнением прямой с заданным угловым коэффициентом k, проходящая через координаты точки M 1 (x 1 , y 1) .

Пример 5

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку М 1 с координатами (4 , - 1) , с угловым коэффициентом равным - 2 .

Решение

По условию имеем, что x 1 = 4 , y 1 = - 1 , k = - 2 . Отсюда уравнение прямой запишется таким образом y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .

Ответ: y = - 2 x + 7 .

Пример 6

Написать уравнение прямой с угловым коэффициентом, которое проходит через точку М 1 с координатами (3 , 5) , параллельную прямой y = 2 x - 2 .

Решение

По условию имеем, что параллельные прямые имеют совпадающие углы наклона, отсюда значит, что угловые коэффициенты являются равными. Чтобы найти угловой коэффициент из данного уравнения, необходимо вспомнить его основную формулу y = 2 x - 2 , отсюда следует, что k = 2 . Составляем уравнение с угловым коэффициентом и получаем:

y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 · (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Ответ: y = 2 x - 1 .

Переход от уравнения прямой с угловым коэффициентом к другим видам уравнений прямой и обратно

Такое уравнение не всегда применимо для решения задач, так как имеет не совсем удобную запись. Для этого необходимо представлять в другом виде. Например, уравнение вида y = k · x + b не позволяет записать координаты направляющего вектора прямой или координаты нормального вектора. Для этого нужно научиться представлять уравнениями другого вида.

Можем получить каноническое уравнение прямой на плоскости, используя уравнение прямой с угловым коэффициентом. Получаем x - x 1 a x = y - y 1 a y . Необходимо слагаемое b перенести в левую часть и поделить на выражение полученного неравенства. Тогда получим уравнение вида y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k .

Уравнение прямой с угловым коэффициентом стало каноническим уравнением данной прямой.

Пример 7

Привести уравнение прямой с угловым коэффициентом y = - 3 x + 12 к каноническому виду.

Решение

Вычислим и представим в виде канонического уравнения прямой. Получим уравнение вида:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Ответ: x 1 = y - 12 - 3 .

Общее уравнение прямой проще всего получить из y = k · x + b , но для этого необходимо произвести преобразования: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0 . Производится переход из общего уравнения прямой к уравнениям другого вида.

Пример 8

Дано уравнение прямой вида y = 1 7 x - 2 . Выяснить, является ли вектор с координатами a → = (- 1 , 7) нормальным вектором прямой?

Решение

Для решения необходимо перейти к другому виду данного уравнения, для этого запишем:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Коэффициенты перед переменными являются координатами нормального вектора прямой. Запишем это так n → = 1 7 , - 1 , отсюда 1 7 x - y - 2 = 0 . Понятно, что вектор a → = (- 1 , 7) коллинеарен вектору n → = 1 7 , - 1 , так как имеем справедливое соотношение a → = - 7 · n → . Отсюда следует, что исходный вектор a → = - 1 , 7 - нормальный вектор прямой 1 7 x - y - 2 = 0 , значит, считается нормальным вектором для прямой y = 1 7 x - 2 .

Ответ: Является

Решим задачу обратную данной.

Необходимо перейти от общего вида уравнения A x + B y + C = 0 , где B ≠ 0 , к уравнению с угловым коэффициентом. для этого решаем уравнение относительно у. Получим A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .

Результат и является уравннием с угловым коэффициентом, который равняется - A B .

Пример 9

Задано уравнение прямой вида 2 3 x - 4 y + 1 = 0 . Получить уравнение данной прямой с угловым коэффициентом.

Решение

Исходя из условия, необходимо решить относительно у, тогда получим уравнение вида:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 · 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Ответ: y = 1 6 x + 1 4 .

Аналогичным образом решается уравнение вида x a + y b = 1 , которое называют уравнение прямой в отрезках, или каноническое вида x - x 1 a x = y - y 1 a y . Нужно решить его относительно у, только тогда получим уравнение с угловым коэффициентом:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b .

Каноническое уравнение можно привести к виду с угловым коэффициентом. Для этого:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1

Пример 10

Имеется прямая, заданная уравнением x 2 + y - 3 = 1 . Привести к виду уравнения с угловым коэффициентом.

Решение.

Исходя из условия, необходимо преобразовать, тогда получим уравнение вида _formula_. Обе части уравнения следует умножить на - 3 для того, чтобы получить необходимо уравнение с угловым коэффициентом. Преобразуя, получим:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

Ответ: y = 3 2 x - 3 .

Пример 11

Уравнение прямой вида x - 2 2 = y + 1 5 привести к виду с угловым коэффициентом.

Решение

Необходимо выражение x - 2 2 = y + 1 5 вычислить как пропорцию. Получим, что 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Теперь необходимо полностью его разрешить, для этого:

5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Ответ: y = 5 2 x - 6 .

Для решения таких заданий следует приводит параметрические уравнения прямой вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ к каноническому уравнению прямой, только после этого можно переходить к уравнению с угловым коэффициентом.

Пример 12

Найти угловой коэффициент прямой, если она задана параметрическими уравнениями x = λ y = - 1 + 2 · λ .

Решение

Необходимо выполнить переход от параметрического вида к угловому коэффициенту. Для этого найдем каноническое уравнение из заданного параметрического:

x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Теперь необходимо разрешить данное равенство относительно y , чтобы получить уравнение прямой с угловым коэффициентом. для этого запишем таким образом:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 · x = 1 · (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

Отсюда следует, что угловой коэффициент прямой равен 2 . Это записывается как k = 2 .

Ответ: k = 2 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter